Ein lineares Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn die Graphen parallel sind. Ein Koordinatensystem. Die x- und die y-Achse sind jeweils mit Einhalb skaliert. Der Graph einer Geraden geht durch die Punkte Null, Ein-Einhalb und Drei, Zwei.Damit ein LGS eindeutig lösbar ist, ist es wichtig, dass es genau so viele voneinander linear unabhängige Gleichungen gibt, wie es Unbekannte gibt. Zwei Gleichungen sind dabei linear abhängig , wenn man eine Gleichung so mit einer reellen Zahl multiplizieren kann, sodass dabei die zweite Gleichung entsteht.Ist die Koeffizientenmatrix singulär (ihr Rang ist kleiner als n), dann kann das Gleichungssystem Lösungen haben, diese sind dann allerdings nicht eindeutig. Wenn jedoch r(A) ≠ r(A,b) gilt, dann stecken Widersprüche in den Gleichungen, so dass das System keine Lösung hat.
Wann hat ein Gleichungssystem keine Lösung rechnerisch : Für welchen Koeffizienten von x besitzt das lineare Gleichungssystem keine Lösung Das Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn die Gleichungen dieselbe Steigung (x-Koeffizient) haben, aber einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt (absolutes Glied).
Wann hat ein LGS eine keine oder unendlich viele Lösungen
Entsteht bei einem Gleichungssystem eine Nullzeile, so hat das LGS unendlich viele Lösungen. Man darf eine Variable als Parameter wählen und muss die Verbleibenden in Abhängigkeit dieses Parameters ausdrücken.
Wann ist ax b eindeutig lösbar : Das Gleichungssystem Ax = b ist eindeutig lösbar (i.e. es gibt genau eine Lösung) offenbar genau dann, wenn es lösbar ist und bei der allgemeinen Lösung von Ax = 0 keine freien Parameter auftreten. Dies ist genau dann gegeben, wenn Rg = n . Folglich ist Ax = b genau dann eindeutig lösbar, wenn RgA = Rg(A, b) = n .
Das Gleichungssystem Ax = b ist eindeutig lösbar (i.e. es gibt genau eine Lösung) offenbar genau dann, wenn es lösbar ist und bei der allgemeinen Lösung von Ax = 0 keine freien Parameter auftreten. Dies ist genau dann gegeben, wenn Rg = n . Folglich ist Ax = b genau dann eindeutig lösbar, wenn RgA = Rg(A, b) = n .
Ein homogenes lineares Gleichungssystem ist stets lösbar. Es besitzt immer den Nullvektor als Lösung (trivialen Lösung). Dieser ist genau dann die einzige Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich der Anzahl der Variablen ist.
Hat ein lineares Gleichungssystem mehr Gleichungen als Variablen so hat es keine Lösung
Ja! Wenn die lineare Gleichung durch Äquivalenzumformungen zu einer allgemeingültigen Aussage geführt werden kann, hat die lineare Gleichung unendlich viele Lösungen. Ein Beispiel für eine lineare Gleichung mit unendlich vielen Lösungen ist: x = x x=x x=x .Entsteht bei einem Gleichungssystem eine Nullzeile, so hat das LGS unendlich viele Lösungen. Man darf eine Variable als Parameter wählen und muss die Verbleibenden in Abhängigkeit dieses Parameters ausdrücken. Beispielaufgabe: x1−2×2+3×3=4.Ist der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix, dann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.